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◎学习目标
- 理解置换（集合上的双射）与置换群的定义，会验证 \(S_n\) 在映射复合下构成群；
- 掌握置换的两行记号与轮换记号，能在两种记号之间熟练转换；
- 掌握置换乘法的计算规则：乘法＝映射复合，从最右边的因子先作用，逐元素追踪；
- 熟记 \(S_3\) 的全部 6 个元素及本讲算过的乘法关系，会补全 \(S_3\) 的乘法表；
- 通过 \(\sigma_1\sigma_2 \neq \sigma_2\sigma_1\) 验证 \(S_3\) 是非交换群，并知道它是阶数最小的非交换群（阶为 6）；
- 理解 \(S_3\) 的生成元与关系写法：\(x=(1\ 2),\ y=(1\ 2\ 3)\)，\(S_3=\{1,x,yx,xy,y,y^2\}\)，关系 \(x^2=y^3=1,\ xy^2=yx\)。
1置换群与 \(S_n\) ⏱ 00:24
1.1 置换的定义
本讲的主角是置换群 \(S_3\)——它是阶数最小的非交换群，是群的例子里非常重要的一个例子。在讲 \(S_3\) 之前，先从一般的置换群看起。置换群，英语叫做 Permutation Group。
定义 · 置换
设 \(T\) 是一个集合。考虑 \(T\) 上的映射；如果这个映射有逆映射，那么它就是双射（这是已知的事实）。这样的双射就称为集合 \(T\) 上的一个置换。
例 · 直观感受 ⏱ 00:52
取 \(T = \{1,2,3\}\)。把 \(1,2,3\) 变成 \(1,3,2\)，或者保持不动变成 \(1,2,3\)，……这些都是 \(T\) 上的双射，也就是 \(T\) 上的置换。
1.2 一个简单事实 ⏱ 01:04
性质 · 复合与逆仍是置换
两个置换的复合，以及一个置换的逆映射，仍然都是置换。原因：双射与双射的复合、双射的逆映射，仍然都是这个集合上的双射。
这个简单的结果正是把「所有置换」放在一起构成群的关键（封闭性与逆元的来源）。
1.3 \(S_n\) 的定义与运算 ⏱ 01:24
定义 · 置换群 \(S_n\)
设 \(T\) 是具有 \(n\) 个元素的集合，\(T\) 中的元素用 \(1, 2, \dots, n\) 表示。考虑 \(T\) 上所有的置换（即所有双射）组成的集合，记作
\[ S_n = \{\, \sigma \mid \sigma : T \to T \text{ 是双射} \,\}. \]
在 \(S_n\) 上定义运算（乘法）：对任意两个置换，它们的乘积就是作为双射（作为函数）的复合。⏱ 02:15
回顾第 1 讲：所谓群，就是一个集合加上一个运算，并且运算满足群公理。置换群 \(S_n\) 的集合就是「\(n\) 个元素的集合 \(T\) 上的所有变化」，运算就是映射的复合。
命题 · \(S_n\) 是一个群 ⏱ 02:38
很容易验证，\(S_n\) 在上述乘法下满足群的所有条件，构成一个群，称为（\(n\) 元的）置换群。
验证（点击展开）
- 封闭性：两个双射的复合仍是双射（1.2 的事实），结果仍在 \(S_n\) 中；
- 结合律：映射的复合天然满足结合律，所以这个「乘法」肯定满足结合律；
- 单位元：就是单位映射（保持每个元素不动的映射）；
- 逆元：每个双射都有逆映射，逆映射也是双射，就在 \(S_n\) 中。
这正是第 1 讲方法论的又一次演练：逐条对照三条公理，并确认封闭性。
1.4 为什么从 \(S_3\) 讲起 ⏱ 03:05
备注 · \(S_1\)、\(S_2\) 太简单
- \(n = 1\)：一个元素上的置换只能是单位映射，\(S_1\) 只有一个元素；
- \(n = 2\)：两个元素 \(1,2\) 的置换只有两种——\(1,2\) 变成 \(2,1\)（对换），或者保持不动 \(1,2\) 还是 \(1,2\)；
- \(S_1\)、\(S_2\) 的情形都比较简单。我们要考虑的是 \(S_3\)——它是最简单、最平凡的新例子。
待会我们会看到：\(S_3\) 是一个非交换群，而且它是阶数最小的非交换群。⏱ 03:30
2\(S_3\) 的六个元素 ⏱ 03:45
设 \(T = \{1,2,3\}\) 是具有三个元素的集合，\(T\) 上所有置换的集合记为 \(S_3\)。现在把 \(S_3\) 里的元素一个一个写出来。
记号（两行记号）：第一行写原来的元素 \(1,2,3\)（原像），第二行写它们被映到的元素（像）。
2.1 逐个列举
- 单位映射 \(1\) ⏱ 04:14：三个元素都保持不动，\(1\to1,\ 2\to2,\ 3\to3\)。这是第一种情况。
- \(\sigma_1\) ⏱ 05:18：保持 \(3\) 不动，把 \(1\) 和 \(2\) 兑换一下：\(1\to2,\ 2\to1,\ 3\to3\)。这显然也是一个双射。
- \(\sigma_2\) ⏱ 05:36：保持 \(2\) 不动，把 \(1\) 和 \(3\) 兑换一下：\(1\to3,\ 2\to2,\ 3\to1\)。
- \(\sigma_3\) ⏱ 05:52：保持 \(1\) 不动，把 \(2\) 和 \(3\) 兑换一下：\(1\to1,\ 2\to3,\ 3\to2\)。
- \(\sigma_4\) ⏱ 06:01：所有元素都动：\(1\to2,\ 2\to3,\ 3\to1\)。
- \(\sigma_5\) ⏱ 06:17：所有元素都动的另一种：\(1\) 不变成 \(2\) 就只能变成 \(3\)，即 \(1\to3\)；此时 \(2\) 不能变成 \(2\)（要求所有元素都动），而 \(3\) 已经被 \(1\) 占用了，所以 \(2\) 只能变成 \(1\)；最后 \(3\to2\)。即 \(1\to3,\ 2\to1,\ 3\to2\)。
\[
1 = \begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix},\quad
\sigma_1 = \begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix},\quad
\sigma_2 = \begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix},
\]
\[
\sigma_3 = \begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix},\quad
\sigma_4 = \begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix},\quad
\sigma_5 = \begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}.
\]
2.2 分类：恰好就是这六个 ⏱ 07:00
- 所有元素都不动：只有单位映射 \(1\)；
- 恰有一个元素不动（其余两个兑换）：\(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\) 三种；
- 三个元素都动：\(\sigma_4,\sigma_5\) 两种。
这就是三个元素的集合上所有的双射，找不到其他情况了——不可能「只有一个元素动、另外两个不动」，因为总共只有三个元素，双射不允许两个元素映到同一个元素上去。
为什么恰好是 6 个（点击展开）
按课上思路分类计数：三个都不动只有 \(1\) 种；恰有一个不动时，先选哪个元素不动（3 种选法），剩下两个只能互换，共 \(3\) 种；三个都动时，\(1\) 的像有 \(2\) 种选法（变成 \(2\) 或变成 \(3\)），一旦选定，其余元素的像就被双射的要求完全确定（如课上对 \(\sigma_5\) 的推理），共 \(2\) 种。
\[ 1 + 3 + 2 = 6. \]
所以三个元素的集合上共有 6 个不同的双射。（一般地，\(n\) 个元素的集合上有 \(n!\) 个双射，故 \(|S_n| = n!\)；这里 \(3! = 6\)。）
结论 · \(S_3\) 的集合 ⏱ 07:52
\[ S_3 = \{\, 1,\ \sigma_1,\ \sigma_2,\ \sigma_3,\ \sigma_4,\ \sigma_5 \,\}, \qquad |S_3| = 6. \]
三个元素的集合上面共有六个不同的双射；用这些符号表示，\(S_3\) 就写成上面这个形式。
3置换的乘法＝映射的复合 ⏱ 08:19
写出集合以后，还要考虑集合里面的运算。\(S_3\) 的乘法就是双射的复合映射：要算 \(\sigma_1\) 乘 \(\sigma_2\)，就是算 \(\sigma_1 \circ \sigma_2\)——\(\sigma_2\) 先作用，然后 \(\sigma_1\) 再作用。
例 1 · 计算 \(\sigma_1\sigma_2\) ⏱ 09:01
不管 \(\sigma_1\) 还是 \(\sigma_2\)，都是从 \(\{1,2,3\}\) 到 \(\{1,2,3\}\) 的双射。追踪原像 \(1,2,3\)：
\[ 1\,2\,3 \ \xrightarrow{\ \sigma_2\ }\ 3\,2\,1 \ \xrightarrow{\ \sigma_1\ }\ 3\,1\,2. \]
- 先作用 \(\sigma_2\)：\(1\to3,\ 2\to2,\ 3\to1\)，所以 \(1,2,3\) 变成 \(3,2,1\)；
- 再作用 \(\sigma_1\)：\(\sigma_1\) 把 \(1\) 变成 \(2\)、把 \(2\) 变成 \(1\)、\(3\) 不动，所以 \(3,2,1\) 变成 \(3,1,2\)。
\[ \sigma_1\sigma_2 = \sigma_5. \]
例 2 · 计算 \(\sigma_2\sigma_2\) ⏱ 10:54
按定义，\(\sigma_2\sigma_2 = \sigma_2 \circ \sigma_2\)：
\[ 1\,2\,3 \ \xrightarrow{\ \sigma_2\ }\ 3\,2\,1 \ \xrightarrow{\ \sigma_2\ }\ 1\,2\,3. \]
\(\sigma_2\) 把 \(1\) 变成 \(3\)、\(2\) 保持不动、\(3\) 变成 \(1\)；再作用一次就全部变回去了。原像 \(1,2,3\) 最后还是 \(1,2,3\)，即单位映射。所以
\[ \sigma_2\sigma_2 = \sigma_2^{2} = 1. \]
注意 · 这种写法的缺点
用两行记号写运算时，要先写原像、在置换的复合作用下再把像写出来、再整合一下才能得到结果——有点麻烦。所以接下来引入一个更简单的记号：循环（轮换）记号。
4轮换（循环）记号 ⏱ 12:09
定义 · 轮换记号的读法
用一个括号 \((a_1\ a_2\ \dots\ a_k)\) 表示：从左到右读，左边的数会变成它右边的数，即 \(a_1\to a_2,\ a_2\to a_3,\ \dots\)；而最右边的数要回到括号里的第一个数，即 \(a_k\to a_1\)。没有出现在括号里的元素保持不动。
用轮换来改写 \(S_3\) 的六个元素（相比两行记号可以少写几个数字）：
- 单位映射 \(1\) ⏱ 12:19：所有元素都不动，可以记为空轮换 \(()\)，或直接写单位映射 \(1\)——一看就知道什么都没动；
- \(\sigma_1 = (1\ 2)\) ⏱ 12:32：\(3\) 不动，\(1\) 变 \(2\)、\(2\) 变 \(1\)。往右看：\(1\to2\)，然后 \(2\to1\) 回到开头，所以写成 \((1\ 2)\)；
- \(\sigma_2 = (1\ 3)\) ⏱ 13:01：\(2\) 不动，\(1\) 变 \(3\)、\(3\) 变 \(1\)；
- \(\sigma_3 = (2\ 3)\) ⏱ 13:28：\(1\) 不动（所以不出现在括号里），括号里都是变的元素：\(2\to3\)，到末端 \(3\) 回到原点，\(3\to2\)；
- \(\sigma_4 = (1\ 2\ 3)\) ⏱ 13:54：\(1\to2\)，所以 \(2\) 写在右边；\(2\to3\)，所以 \(3\) 写在右边；\(3\) 又变回 \(1\)，而 \(1\) 已经在括号最左边了，合上括号即可；
- \(\sigma_5 = (1\ 3\ 2)\) ⏱ 14:10：\(1\to3\)，\(3\to2\)，\(2\to1\)（回到开头的 \(1\)）。
\[
1 = (),\qquad \sigma_1 = (1\ 2),\qquad \sigma_2 = (1\ 3),\qquad \sigma_3 = (2\ 3),\qquad \sigma_4 = (1\ 2\ 3),\qquad \sigma_5 = (1\ 3\ 2).
\]
术语
\((1\ 2)\)、\((1\ 3)\)、\((2\ 3)\) 这类含两个元素的轮换称为二循环（也叫对换）；\((1\ 2\ 3)\)、\((1\ 3\ 2)\) 称为三循环。用循环的符号来写，计算 \(S_3\) 上的运算时会发现更简单一些。
5用轮换记号计算乘法 ⏱ 14:40
计算规则（务必记住）
乘法就相当于映射的复合，所以要从右边那个循环开始作用：先算最右边的循环把元素映到哪里，再看得到的结果在左边循环下的像；一个元素的像找完后，接着追踪这个像，直到绕回起点形成循环，再挑下一个还没追踪的元素。
例 1 · \((1\ 2)(1\ 3)\) ⏱ 15:16
\(\sigma_1\sigma_2 = (1\ 2)(1\ 3)\)。先看右边的循环 \((1\ 3)\)：
\[
1 \xrightarrow{(1\,3)} 3 \xrightarrow{(1\,2)} 3,\qquad
3 \xrightarrow{(1\,3)} 1 \xrightarrow{(1\,2)} 2,\qquad
2 \xrightarrow{(1\,3)} 2 \xrightarrow{(1\,2)} 1.
\]
- 1 的像：右边 \((1\ 3)\) 把 \(1\) 变成 \(3\)；再看 \(3\) 在左边 \((1\ 2)\) 下的像——括号里没有 \(3\)，说明 \(3\) 不动。所以 \(1\to3\)；
- 3 的像：右边把 \(3\) 变成 \(1\)；左边把 \(1\) 变成 \(2\)。所以 \(3\to2\)；
- 2 的像：右边没有 \(2\)，不动；左边把 \(2\) 变成 \(1\)。所以 \(2\to1\)，而 \(1\) 已经在循环最左边，追踪结束。
\[ (1\ 2)(1\ 3) = (1\ 3\ 2) = \sigma_5. \]
对照原来的 \(\sigma_i\) 符号，这正是 \(\sigma_5\)——与第 3 节用两行记号算出的结果完全一致，但第二种写法明显更简单。
例 2 · \((1\ 3)(1\ 3)\) ⏱ 17:57
\(\sigma_2\sigma_2 = (1\ 3)(1\ 3)\)。还是看 \(1,2,3\) 的像：
- \(1\)：右边变成 \(3\)，左边又把 \(3\) 变回 \(1\)，所以 \(1\) 不动；
- \(2\)：两个循环里都没有 \(2\)，所以 \(2\) 肯定也不动；
- \(3\)：右边变成 \(1\)，左边又把 \(1\) 变成 \(3\)，所以 \(3\) 还是变成 \(3\)。
\[ (1\ 3)(1\ 3) = 1. \]
虽然写了一个符号，但其实 \(1\) 还是 \(1\)、\(2\) 还是 \(2\)、\(3\) 还是 \(3\)。这和之前用两行记号算的结果肯定是一样的。
6\(S_3\) 是非交换群 · 阶数最小 ⏱ 19:38
前面讲过，\(S_3\) 是非交换群的例子。回顾第 1 讲 ⏱ 19:44：所谓交换，是取群里任意两个元素 \(x, y\)，都有 \(xy = yx\)；如果能找到两个元素，交换一下顺序以后结果不一样，那它就是非交换群。我们来算一下把 \(\sigma_1\sigma_2\) 换个顺序的结果。
例 3 · \((1\ 3)(1\ 2)\)（换了顺序） ⏱ 20:25
\(\sigma_2\sigma_1 = (1\ 3)(1\ 2)\)。这就只是换了一下顺序，仍然先从右边的循环看起：
\[
1 \xrightarrow{(1\,2)} 2 \xrightarrow{(1\,3)} 2,\qquad
2 \xrightarrow{(1\,2)} 1 \xrightarrow{(1\,3)} 3,\qquad
3 \xrightarrow{(1\,2)} 3 \xrightarrow{(1\,3)} 1.
\]
- \(1\)：右边 \((1\ 2)\) 把 \(1\) 变成 \(2\)；\(2\) 在左边 \((1\ 3)\) 里不动。所以 \(1\to2\)；
- \(2\)：右边把 \(2\) 变成 \(1\)；左边把 \(1\) 变成 \(3\)。所以 \(2\to3\)；
- \(3\)：右边 \((1\ 2)\) 里没有 \(3\)，不动；左边把 \(3\) 变成 \(1\)。所以 \(3\to1\)。
\[ (1\ 3)(1\ 2) = (1\ 2\ 3) = \sigma_4. \]
结论 · \(S_3\) 非交换 ⏱ 22:11
前面已算出 \(\sigma_1\sigma_2 = \sigma_5\)，而 \(\sigma_2\sigma_1 = \sigma_4\)。\(\sigma_4\) 和 \(\sigma_5\) 是不一样的映射，所以
\[ \sigma_1\sigma_2 \neq \sigma_2\sigma_1. \]
很显然，\(S_3\) 肯定不是一个交换群。
本讲核心结论 · 阶数最小的非交换群 ⏱ 22:42
\(S_3\) 是一个非交换群；而且它总共有六个元素，是一个阶为 \(6\) 的非交换群。它其实就是阶数最小的非交换群——这是一个非常重要的例子。
备注 · 为什么说是「最小」
课上直接给出了这个结论：阶 \(1,2,3,4,5\) 的群都是交换群，\(6\) 是能出现非交换群的最小阶数。学完后面的循环群与 Lagrange 定理后，可以自己补上这个论证；现阶段先记住「\(S_3\)（6 阶）是第一个、也是最小的非交换群」。
7乘法表（Cayley 表） ⏱ 22:57
课后作业：自己把 \(S_3\) 的乘法表写一下。它总共有六个元素 \(1,\ \sigma_1,\ \sigma_2,\ \sigma_3,\ \sigma_4,\ \sigma_5\)；把乘法表写出来以后，整个群的结构就完全清楚了。
课上已经填出的部分：
- 因为 \(1\) 是单位映射，单位映射和任何映射复合还是原来的映射：第一行、第一列都不变，如 \(1\cdot\sigma_2 = \sigma_2\)、\(\sigma_1\cdot 1 = \sigma_1\)；
- \(\sigma_1\sigma_1 = 1\)（二循环作用两次回到单位元，课上未具体算，但「肯定等于单位元」）；
- \(\sigma_1\sigma_2 = \sigma_5\)（例 1 已算）；
- \(\sigma_2\sigma_1 = \sigma_4\)（例 3 已算）；
- \(\sigma_2\sigma_2 = 1\)（例 2 已算）；
- \(\sigma_1\sigma_3\) 还没有算——大家自己算一下。
| \(\cdot\)（课堂进度） | \(1\) | \(\sigma_1\) | \(\sigma_2\) | \(\sigma_3\) | \(\sigma_4\) | \(\sigma_5\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(1\) | \(1\) | \(\sigma_1\) | \(\sigma_2\) | \(\sigma_3\) | \(\sigma_4\) | \(\sigma_5\) |
| \(\sigma_1\) | \(\sigma_1\) | \(1\) | \(\sigma_5\) | ? | ? | ? |
| \(\sigma_2\) | \(\sigma_2\) | \(\sigma_4\) | \(1\) | ? | ? | ? |
| \(\sigma_3\) | \(\sigma_3\) | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(\sigma_4\) | \(\sigma_4\) | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(\sigma_5\) | \(\sigma_5\) | ? | ? | ? | ? | ? |
完整乘法表（参考答案，建议先自己算再核对）
用轮换记号逐格计算（行 \(\times\) 列，行在左、列在右，列先作用）：
| \(\cdot\) | \(1\) | \(\sigma_1\) | \(\sigma_2\) | \(\sigma_3\) | \(\sigma_4\) | \(\sigma_5\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(1\) | \(1\) | \(\sigma_1\) | \(\sigma_2\) | \(\sigma_3\) | \(\sigma_4\) | \(\sigma_5\) |
| \(\sigma_1\) | \(\sigma_1\) | \(1\) | \(\sigma_5\) | \(\sigma_4\) | \(\sigma_3\) | \(\sigma_2\) |
| \(\sigma_2\) | \(\sigma_2\) | \(\sigma_4\) | \(1\) | \(\sigma_5\) | \(\sigma_1\) | \(\sigma_3\) |
| \(\sigma_3\) | \(\sigma_3\) | \(\sigma_5\) | \(\sigma_4\) | \(1\) | \(\sigma_2\) | \(\sigma_1\) |
| \(\sigma_4\) | \(\sigma_4\) | \(\sigma_2\) | \(\sigma_3\) | \(\sigma_1\) | \(\sigma_5\) | \(1\) |
| \(\sigma_5\) | \(\sigma_5\) | \(\sigma_3\) | \(\sigma_1\) | \(\sigma_2\) | \(1\) | \(\sigma_4\) |
核对技巧：乘法表的每一行、每一列中，六个元素都恰好各出现一次（这是群公理的推论），可以用来快速自查有没有算错。
8另一种写法：生成元与关系 ⏱ 24:30
如果再算一下，会发现 \(S_3\) 还可以用更少的符号写出来。取新的记号：
\[ x = \sigma_1 = (1\ 2) \ \text{（这是一个二循环）}, \qquad y = \sigma_4 = (1\ 2\ 3) \ \text{（这是一个三循环）}. \]
8.1 用 \(x, y\) 表示所有元素
例 · 计算 \(yx = \sigma_4\sigma_1\) ⏱ 25:06
\(y = (1\ 2\ 3)\)，\(x = (1\ 2)\)。简单计算一下：\(1\) 在右边 \((1\ 2)\) 下变 \(2\)，再在 \((1\ 2\ 3)\) 下变 \(3\)，所以 \(1\to3\)；接着看 \(3\) 的像：\(3\) 在右边不动，在左边变成 \(1\)，所以 \(3\to1\)；而 \(2\) 先变 \(1\) 再变回 \(2\)，不动。于是
\[ yx = (1\ 2\ 3)(1\ 2) = (1\ 3) = \sigma_2. \]
类似地继续算 ⏱ 25:53，会发现 \(S_3\) 里所有的元素都可以用 \(x\) 和 \(y\) 表达出来：
\[
\sigma_2 = yx,\qquad \sigma_3 = xy,\qquad \sigma_5 = y^{2}.
\]
于是原来按定义写出的 \(S_3 = \{1,\ \sigma_1,\ \sigma_2,\ \sigma_3,\ \sigma_4,\ \sigma_5\}\)，可以改写为 ⏱ 26:15
\[
S_3 = \{\, 1,\ x,\ yx,\ xy,\ y,\ y^{2} \,\}.
\]
8.2 生成元满足的关系 ⏱ 26:53
- \(x = (1\ 2)\) 是一个二阶的置换：\(x^2\) 等于单位映射，即 \(x^2 = 1\)；
- \(y = (1\ 2\ 3)\) 是一个三阶的置换：算一下 \(y^2\) 和 \(y^3\)，会发现 \(y^3\) 等于单位映射，即 \(y^3 = 1\)；
- \(x\) 与 \(y\) 的混合运算还要满足一条关系：算一下可得 ⏱ 27:28
\[ x\,y^{2} = yx. \]
定义 · 生成元与关系
置换群 \(S_3\) 里的元素可以表达为由 \(x\) 和 \(y\) 生成的一个群，两个生成元 \(x, y\) 满足的关系是
\[ S_3 = \langle\, x,\ y \ \mid\ x^{2} = y^{3} = 1,\ \ x\,y^{2} = yx \,\rangle. \]
这个东西要自己验证一下（关系 \(xy^2 = yx\) 也等价于 \(xy = y^2 x\)，可以直接用轮换算一算）。这是关于 \(S_3\) 这个置换群的另外一个写法，是比较简单的。
验证 \(x y^{2} = yx\)（点击展开）
\(y^2 = (1\ 2\ 3)^2 = (1\ 3\ 2)\)。左边：
\[ x\,y^{2} = (1\ 2)(1\ 3\ 2): \quad 1 \to 3 \to 3,\ \ 3 \to 2 \to 1,\ \ 2 \to 1 \to 2, \]
即 \(1\to3,\ 3\to1,\ 2\) 不动，得 \((1\ 3)\)。右边：
\[ yx = (1\ 2\ 3)(1\ 2): \quad 1 \to 2 \to 3,\ \ 3 \to 3 \to 1,\ \ 2 \to 1 \to 2, \]
同样得 \((1\ 3) = \sigma_2\)。两边相等，关系成立。
8.3 生成元的选取不唯一 ⏱ 28:00
\(x, y\) 可以称为 \(S_3\) 的一组生成元：\(x\) 是二阶元素，\(y\) 是三阶元素。事实上，在 \(S_3\) 里只要取一个二阶元、取一个三阶元，就可以把 \(S_3\) 里的所有元素都表达出来：比如也可以取 \(x\) 为 \(\sigma_2\)（即 \((1\ 3)\)），\(y\) 仍取 \((1\ 2\ 3)\)，同样能把其他所有元素全部用 \(x, y\) 表达出来。只要保证 \(x\) 和 \(y\) 中有一个是二阶元素、有一个是三阶元素就可以了。
预告 · 轮换的阶数 ⏱ 28:51
为什么 \((1\ 2)\) 一定是二阶、\((1\ 2\ 3)\) 一定是三阶？后面学习置换群的一般性质时会看到：写成循环的形式，如果循环里有 2 个元素，它的阶数一定是 \(2\)（平方就变成单位元）；如果是有 3 个元素的循环，它的阶数一定是 \(3\)（三次方变成单位元）。这个一般结论后面会严格说明。
8.4 小结 ⏱ 29:12
以上就是阶数最小的非交换群 \(S_3\) 的一些基本事实和基本运算。这是我们作为第一个「大家没有见过的群」的例子给出的。后面还会学习关于置换群的更一般的结论，但请始终记着 \(S_3\) 这个例子——后面经常会用到。
★重点回顾
1
置换＝集合上的双射；\(S_n\) ＝ \(n\) 元集合上所有置换的集合，运算为映射的复合，构成群（单位元＝单位映射，逆元＝逆映射），称为置换群。
2
\(S_3\) 恰有 6 个元素：单位映射 \(1\)，三个「一个不动、两个对换」的 \(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\)，两个「三个全动」的 \(\sigma_4,\sigma_5\)；\(|S_3| = 6\)。
3
两种记号互换：两行记号（上原像、下像）与轮换记号；轮换中「左变右、最右回到最左」，没出现的元素不动。\(\sigma_1=(1\ 2),\ \sigma_2=(1\ 3),\ \sigma_3=(2\ 3),\ \sigma_4=(1\ 2\ 3),\ \sigma_5=(1\ 3\ 2)\)。
4
乘法规则：乘法＝映射复合，从右边先作用，逐元素追踪：先找 \(1\) 的像，再找该像的像，绕回起点后再追踪下一个元素。
5
关键乘法：\(\sigma_1\sigma_2 = \sigma_5\)，\(\sigma_2\sigma_1 = \sigma_4\)，\(\sigma_1^2=\sigma_2^2=1\)。由 \(\sigma_1\sigma_2 \neq \sigma_2\sigma_1\) 知 \(S_3\) 非交换，且它是阶数最小（6 阶）的非交换群。
6
乘法表（Cayley 表）写出后，整个群的结构就完全清楚了；单位映射所在的行、列都保持原样。
7
生成元与关系：取 \(x=(1\ 2)\)（二阶）、\(y=(1\ 2\ 3)\)（三阶），则 \(S_3 = \{1, x, yx, xy, y, y^2\}\)，关系为 \(x^2 = y^3 = 1,\ xy^2 = yx\)；任取一个二阶元 + 一个三阶元都能生成整个 \(S_3\)。
⚠易错点提醒
常见错误
- 作用顺序搞反：\(\sigma_1\sigma_2\) 表示 \(\sigma_2\) 先作用、\(\sigma_1\) 后作用（从右往左）。本讲 \(\sigma_1\sigma_2 = \sigma_5\) 而 \(\sigma_2\sigma_1 = \sigma_4\)，顺序一换结果完全不同——这正是非交换的体现。
- 误读轮换：\((1\ 2\ 3)\) 表示 \(1\to2,\ 2\to3,\ 3\to1\)，不是 \(1\to3\)；括号里最右边的数要回到最左边的数。
- 漏掉不动的元素：轮换里没写到的元素保持不动（如 \((1\ 2)\) 中 \(3\) 不动）。计算复合时，若某元素在右边循环里没出现，就直接原样传给左边循环处理。
- 把「单位映射 \(1\)」与数字 \(1\) 混淆：\(\sigma^2 = 1\) 的意思是「\(\sigma\) 复合自己两次得到单位映射」，例如每个二循环都满足 \(\sigma^2 = 1\)。
- 写乘法表时抄错行列；可用「每行每列六个元素各出现一次」快速自查。
- 默认「看起来像」的轮换乘法可交换：\((1\ 2)(1\ 3) \neq (1\ 3)(1\ 2)\)，一切以逐元素计算为准。
✎自测与作业
- （课上作业）把 \(S_3\) 的完整乘法表写出来：六个元素 \(1,\ \sigma_1,\ \sigma_2,\ \sigma_3,\ \sigma_4,\ \sigma_5\)，利用已有结果（\(\sigma_1\sigma_2=\sigma_5,\ \sigma_2\sigma_1=\sigma_4,\ \sigma_1^2=\sigma_2^2=1\) 等）补全所有 36 格，体会「整个群的结构完全清楚」。
- 用轮换记号计算：\((2\ 3)(1\ 2)\)、\((1\ 2)(1\ 2\ 3)\)、\((1\ 2\ 3)(1\ 2)\)、\((1\ 3)(1\ 2\ 3)\)，并与你的乘法表核对。
- 验证生成元关系：对 \(x=(1\ 2),\ y=(1\ 2\ 3)\)，逐一验证 \(x^2 = 1,\ y^3 = 1,\ xy^2 = yx\)；再验证等价形式 \(xy = y^2x\)。
- 换一组生成元：取 \(x' = \sigma_2 = (1\ 3)\)、\(y = \sigma_4 = (1\ 2\ 3)\)，把 \(S_3\) 的其余四个元素都用 \(x', y\) 表示出来。
- 写出 \(S_1\) 与 \(S_2\) 的全部元素，验证它们都是交换群（\(S_2\) 的乘法表只有 \(2\times2\)）。
- 思考：为什么说 6 是能出现非交换群的最小阶数？（提示：结合第 1 讲学过的群例子；严格论证可留到学完循环群与 Lagrange 定理后完成。）
下一讲预告
第 3 讲：子群——如何在一个群内部找出「自身也构成群」的子集。